统计学基础

描述性统计

统计学的大分类

• 描述统计学
  使用特定的数字或图表来体现数据的集中和离散程度。如：平均值，最值，值的分布。
• 推断统计学
  根据样本数据推断总体数据特征。如：产品质量检查时使用抽检。

集中趋势

一组数据向中心值靠拢的程度。

• 均值：描述平均水平。
• 中位数：描述中等水平。
• 众数：描述一般水平。

	优点	缺点
均值	充分利用所有数据，适用性强	容易受到极端值影响
中位数	不受极端值影响	缺乏敏感性
众数	当数据具有明显的集中趋势时，代表性好；不受极端值影响	缺乏唯一性：可能有一个，或多个，或没有

离散程度的描述

一组数据，距离中心越远，即极差或方差或标准差越大，则越离散。

• 极差：最大值-最小值
• 方差：每个数据距离中心的距离的平方的均值。其单位是原数据单位的平方。
  • 总体方差： $$\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu)^2$$
  • 样本方差： $$\sigma^{2}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2$$
• 标准差：方差的算术平方根。其单位与原数据单位一致。
  • 总体标准差： $$\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}{(X_i-\mu)}^2}$$
  • 样本标准差： $$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n-1}{(x_i-\bar x)}^2}$$
    其中，$X_i$表示总体中第i个数据的值，$x_i$表示样本中第i个数据的值；$\mu$表示总体数据集的均值，$\bar x$表示样本数据集的均值。

常见统计图表

直方图

• 频数直方图

  频数图

• 频率直方图

柱形图

显示一段时间内的数据变化或显示各项之间的比较情况。

柱形图

柱形图与直方图的区别：

• 横坐标不同。直方图的横坐标是同一个变量的分组划分，而柱形图则是不同的组别。
• 作用不同。直方图用于显示一组数据的分布情况，柱形图则是用于比较不同组别的数据差异。

箱线图

• 下四分位数：Q1，将所有数据从小到大排列，排在第25%的位置的值。
• 上四分位数：Q3，将所有数据从小到大排列，排在第75%的位置的值。
  分位数的位置：选择四分位的百分比值y，即样本总量n，分位数的位置可如下计算：
  $$L_y = n * \frac{y}{100}$$
  • 情况1：若L是整数，则取L和L+1的平均值；
  • 情况2：若L不是整数，则取下一个最近的整数。
    如：对于2，3，4，5，6这组样本数据，下四分位数的$y=25$，所以$L = n * \frac{25}{100} = 5 * 0.25 = 1.25$，故下四分位数应取位于第2位（L=2）的3.
• 四分位距：IQR，为Q3-Q1。
• 异常点：小于Q1-1.5IQR，或大于Q3+1.5IQR。
• 上边缘：除异常点以外的数据中的最大值。
• 下边缘：除异常点以外的数据中的最小值。

  箱线图的结构

  

  箱线图的简单画法

茎叶图

茎叶图可以在保留全部数据信息的同时，直观地显示出数据的分布情况。

茎叶图的结构

茎叶图的简单画法

线图

线图

饼图

饼图

古典概型与几何概型

试验

对某种自然现象做一次观察或进行一次科学试验。

随机试验的特征

• 可以在相同的条件下重复进行。
• 试验的可能结果不止一个，但在试验前可以知道所有可能的结果。
• 试验前不确定哪个结果会出现

样本空间

对于随机试验E，E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。

• 例1：抛掷一枚骰子，观察出现的点数。$S = \lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace$
• 例2：记录某车站某日某时刻的等车人数。$S = \lbrace0,1,2,3,…\rbrace$
• 例3：考察某地区12月的平均气温。$S = \lbrace t|T_1<t<T_2\rbrace$

样本点

样本空间S中的元素，即E的每个可能的结果，称为样本点。

随机事件

试验E的样本空间S的某个子集，称为E的随机事件，简称事件。一般用大写字母A、B、C…表示。
如：在抛骰子试验中，“所得点数为偶数”是一个随机事件A，“所得点数为1”是一个随机事件B。

基本事件

由一个样本点组成的单点集。
如：在抛骰子试验中，“所得点数为1”是一个基本事件B。该实验共有6个基本事件。

必然事件与不可能事件

• 事件发生：在每次试验中，当事件中的某个样本点出现时，称为事件发生。
• 必然事件：在每个试验中一定会发生的事件。在抛骰子试验中，事件C”点数小于等于6点”是必然事件。
• 不可能事件：在每个试验中一定不会发生的事件，用$\varnothing$表示。在抛骰子试验中，事件D”点数大于6点”是不可能事件。

事件关系

事件关系

事件运算定律

概率

在相同条件下，重复n次试验，事件A发生的

• 频数：A发生的次数$n_{_A}$
• 频率：$\frac{n_{_A}}{n}$
• 概率：大量试验证明，当试验的重复次数n逐渐增大时，事件A发生的频率会逐渐稳定于某个常数p。这个p就是事件A发生的频率，用于表示在一次试验中，事件A发生的可能性大小。记为P(A)。

概率的需要满足的条件

• 非负性：$0 \leqslant P(A)\leqslant 1$
• 规范性：对于必然事件S，有P(A)=1
• 可列可加性：对于互斥（两两不相容）事件$A_1$，$A_2$，$A_3$…，即$A_i \cap A_j= \varnothing (i \neq j)$，有 $$P(A_1\cup A_2 \cup …) = P(A_1)+P(A_2)+…$$

概率的性质

• 不可能事件发生的概率为0，即 $$P(\varnothing)=0$$
• 有限可加性：对于互斥（两两不相容）事件$A_1$，$A_2$，$A_3$…$A_n$，即$A_i \cap A_j= \varnothing (i \neq j)$，有 $$P(A_1 \cup A_2 \cup …A_n) = P(A_1)+P(A_2)+…P(A_n)$$
• 对于A，B两个事件，若$A \supset B$，则 $$P(A-B)=P(A)-P(B); P(A) \geq P(B)$$
• 对于任一事件A，有 $$P(A) \leqslant 1$$
• 对于任一事件A，有 $$P(\bar A)=1- P(A)$$
• 加法公式：对于A，B两个事件，有 $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$ 推广： $$P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3)$$

古典概型

• 有限性：试验的样本空间包含有限个元素。
• 等可能性：试验中每个基本事件发生的概率相等。
  满足有限性和等可能性的试验称为古典概型。

几何概型

• 无限性：试验的样本空间包含无限个元素。
• 等可能性：试验中每个基本事件发生的概率相等。
  满足无限性和等可能性的试验称为几何概型。
  $P(A)=\frac{构成事件A的区域长度（面积或体积）}{实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）}$

几何概型的例子

Buffon投针试验

18世纪，Buffon提出以下问题：假设有一个以平行且等距（间距为a）木纹铺成的地板，现随意抛一支长度为b的针（b小于a），求针和其中一条木纹相交的概率。

Buffon投针试验

条件概率与贝叶斯公式